Exakte Bestimmung eines Funktionsterms

Mit einer Steckbriefaufgabe lassen sich ganzrationale Funktionen bestimmen. Die Bestimmung der ganzrationalen Zahlen erfolgt als Rekonstruktion bzw. als Steckbriefaufgabe. Anhand der Steckbriefaufgaben ist eine genaue Bestimmung eines Funktionsterms mit vorgegebenen Informationen wie zum Beispiel der Position von Nullstellen, Hochpunkten etc. möglich. Das heißt, die Eigenschaften des Funktionsgraphen sind schon vorgegeben. In Folge wird sich also auf die Suche nach der Gleichung einer Funktion begeben, deren Graph die entsprechenden Eigenschaften erfüllt.

Der Aufbau einer Steckbriefaufgabe ist wie ein Rätsel. Im Aufgabentext befinden sich verschiedene Informationen die hilfreich und notwendig zur Erstellung des Funktionsterms sind. Die Bearbeitung der Kurvendiskussion erfolgt quasi rückwärts. Die im Text befindlichen Hinweise müssen in Gleichungen umgewandelt werden.

 

Begonnen wird mit dem Ansatz:

Funktion 3. Grades:  f (x) = ax³ + bx² + cx + d

Funktion 4. Grades:  f (x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Bei einer Symmetrie, wird diese direkt im Ansatz beachtet:

Punktsymmetrie 3. Grad: f (x) = ax³ + cx

Achsensymmetrie 4. Grad: f (x) = ax⁴ +  cx² + e

 

Die Textaufgaben für Steckbriefaufgaben haben relativ eindeutige Formulierungen. Aus diesem Grund zeigen wir Euch in den folgenden zwei Tabellen die häufigsten Bedingungen mit Formulierungen und den dementsprechenden Beispielen, sowie die selteneren Bedingungen, ebenfalls mit passenden Beispielen.

Typische Aufgaben:

Sehr häufige Bedingungen bei Steckbriefaufgaben
Der Graph der Funktion..Bedingung(en)
… geht durch den Punkt P(3/9)f (3) = 9
… schneidet die y-Achse bei 7f (0) = 7
… schneidet die x-Achse bei 2f (2) = 0
… geht durch den Ursprungf (0) = 0
… hat an der Stelle x = 5 einen Extrempunktf´(5) = 0
… hat einen Extrempunkt auf der y-Achsef´(0) = 0
… hat im Punkt T(1/3) einen Tiefpunkt (Hochpunkt)f (1) = 3

f´(1) = 0

… berührt die x-Achse an der Stelle x = 2f(2) = 0

f´(2) = 0

… hat an der Stelle x = 1 einen Wendepunktf´´(1) = 0
… hat einen Wendepunkt auf der y-Achsef´´(0) = 0
… hat im Punkt P(2/4) einen Sattelpunktf (2) = 4

f´(2) = 0

f´´(2) = 0

… hat an der Stelle x = 3 eine Tangente mit der Steigung 8f´(3) = 8
… hat an der Stelle x = 4 eine waagerechte Tangentef´(4) = 0
… hat bei x = 2 eine Wendestelle, ihre Wendetangente hat die Steigung 4f´´(2) = 0

f (2) = 4

 

Seltenere Bedingungen bei Steckbriefaufgaben:
Der Graph der Funktion …Bedingung(en)
…hat an der Stelle x = 3 eine zu der Geraden y = -4x +  9 parallele Tangentef´(3) = – 4
… hat an der Stelle x = 2 eine Tangente mit der Gleichung y = – 3x + 7f´(2) = – 3

f (2) = – 3 * 2 + 7 = 1

… hat an den Stellen x1 = 1 und x2 = 3 parallele Tangentenf´(1) = f´(3)
… berührt eine weitere Funktion g(x) (gegeben) an der Stelle x = 1f (1) = g (1)

f´ (1) = g´ (1)

Die Tangente an den Punkt P(2/3) schneidet die x-Achse an der   Stelle – 1 (also im Punkt Q(-1/0))f (2) = 3

f´ (2) = (0-3)/(-1-2) = 1

 

 

Mit den oberstehenden Tabellen könnt Ihr Euch bestens vorbereiten und wusste genau was zu tun ist. Damit Ihr den gesamten Prozess eines Steckbriefaufgabe versteht, und die Steckbriefaufgabe selber aufstellen könnt, haben wir Euch ein Beispiel angefügt.

 

Beispiel:

Die Parabel einer Funktion 3.Grades geht durch den Ursprung.

Ihre Wendetangente bei x = 2 lautet g(x) = – 2x + 8

Lösung:
a) Funktion, 1. und 2. Ableitung allgemein bilden:

f(x)= ax³ + bx² cx d
f(x)=3ax² 2bx c
f
(x) = 6ax + 2b

b) Infos über Punkte sammeln:

Ursprung                 ->   f (0) = 0          ->  0 = a * 0³ b * 0² c * d

g(2)=–2· 2 + 8 = 4   ->   f (2) = 4         ->   0 = 2³ * a + 2² * b + 2 * c + d

 

c) Infos über Steigungen:  

m=–2 bei x=2         ->  f‘(2)=–2            -> 3 * 22 * a + 2 * 2 * b + c

d) Infos über Wendpunkte:


WP bei
x = 2           -> f ‘‘(2) = 0          -> 0 = 6 * 2 * a + 2 * b

e) Aufstellen des Gleichungssystems

I) 4 842c  

II) -2 124c

III) 0 12a + 2b

_________________

I – 2 * II I)     8 = − 16− 4b

III)                   0 12a + 2b

_________________

I + 2 III)        8 = 8 a               <->   a = 1

in III)            0 = 12 + 2b        <->    b = -6 

a, b in I)          4 = 8 – 24 + 2c   <->   c = 10 

 

f) Ergebnis:


f(xx³ – 6x² + 10x

 

Nachhilfe in Mathematik

Hoffentlich können wir Euch mit diesem Beitrag die Steckbriefaufgaben etwas näher bringen. Nun habt Ihr die Möglichkeit, selbst ein bisschen für Mathe zu lernen. Solltet Ihr zusätzliche Fragen zum Thema Steckbriefaufgaben, Kurvendiskussion: Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte oder zu anderen Themen habt, helfen wir gerne weiter. In Online-Nachhilfe können wir Euch offene Fragen beantworten oder in der Einzelnachhilfe die Themengebiete genau erklären.

Wir wünschen viel Erfolg beim Lernen!